Brouk, na jehož krovkách kvete celý vesmír

22. 7. 2016 – Tomáš Prokopič

Představte si, že existuje naprosto jednoduchý matematický výpočet, jehož výsledkem je tajemný obrazec, který v sobě obsahuje nekonečně komplikovaný vesmír tvarů. Tvarů, které jsou v přírodě všude okolo nás a které jsou uložené hluboko v našem podvědomí.

Pro mě osobně je to ta nejúžasnější věc, kterou jsem kdy spatřil. Většina lidí, se kterými se setkávám, o něčem takovém nemá ani ponětí a přitom mezi lidmi, kteří se zajímají o matematiku nebo programování, se jedná o poměrně známou věc. Ten zázrak se jmenuje podle svého objevitele Mandelbrotova množina.

Nebudu vás déle napínat, ten obrazec vypadá takto:

Všimněte si, že připomíná Scarabea – posvátného brouka starých Egypťanů. Ten výpočet určuje pouze tvary, barevná škála je volitelná. To nejzajímavější ale ještě v na tomto obrázku není příliš zřejmé. Ten brouk má totiž nekonečně komplikovaný okraj. Vidíte ty různé výběžky, tykadla a chloupky? Tak pokud si příblížíte a zvětšíte nějakou oblast v tom okraji, tak se vám otevře úžasný vesmír plný tvarů. Čím víc se budete přibližovat, tím komplikovanější a stále nové tvary budete objevovat.

Aby vám v plné síle došlo, o co přesně jde, pusťte si toto video:

Na videu je velmi hluboký ponor do okraje Mandelbrotovy množiny. Je důležité si u toho uvědomit, že to, co vidíte, je jen a pouze výsledek jednoho velmi jednoduchého výpočtu, kde se jenom sčítá, odčítá a násobí. Na videu je přitom zvětšená pouze jedna miniaturní část celého grafu. Pokud si zkusíte přiblížít jinou část, budou tam zase jiné tvary. Každé místo je unikátní. 

Jak probíhá výpočet?

Výpočet je v základu opravdu velmi jednoduchý – je to jenom sčítání, odčítání a násobení, nic víc.  Hlavní potíž spočívá v tom, že ten primitivní výpočet je nutné mnohokrát opakovat – stokrát, tisíckrát, milionkrát a ještě mnohem více. Čím hlouběji se do obrazce ponoříte, tím vícekrát se musí počítání opakovat. Kdybyste měli k dispozici pouze kalkulačku, za celý život byste nezvládli spočítat Mandelbrotovu množinu v takovém rozlišení jako na ilustracích v tomto článku. Počítače ale v dnešní době už zvládnou miliardy početních operací za sekundu a díky tomu je možné obrazec vykreslit.

Nicméně ve velmi malém rozlišení si můžete zkusit provést ten výpočet sami s obyčejnou kalkulačkou – jen tak pro zábavu a pro pochopení, jak to vlastně funguje. B udete k tomu kromě kalkulačky potřebovat ještě čtverečkovaný papír a kružítko – a nebo nainstalovaný Excel. Pokud si to tedy chcete zkusit sami, přichystal jsem podrobný návod zde:

...a nebo si můžete nejprve dočíst tento článek a výpočet si vyzkoušet až potom. Nechám to na vás.

A co to vůbec je?

Mandelbrotova množina nejsou žádné náhodné počítačem vymyšlené obrázky. Je to uspořádání čísel samotných. Je to nějaký dobře ukrytý přírodní zákon, kterým se řídí vše, co se dá vyjádřit pomocí čísel. Je to matrice, do které se uspořádává život a vesmír okolo nás. Mandelbrotova množina tu vždycky byla a bude. Existuje od té doby, od kdy platí že 1+1=2. 

Zrcadlení přírody

Když budete delší dobu zkoumat tento nekonečný vesmír, začnete narážet na tvary, které důvěrně znáte z přírody.  Připravil jsem tady pro vás malou ukázku. V levé části je vždy výřez nějaké části Mandelbrotovy množiny a vpravo je pro porovnání nějaký objekt z reálného světa. 

Kopretina
Kopretina
Sněhová vločka
Sněhová vločka
Mořský koník
Mořský koník
Blesk
Blesk
Květák
Květák
Chapadlo chobotnice
Chapadlo chobotnice
Smrk
Smrk
Mravenec
Mravenec
Koruny stromů
Koruny stromů
Jednobuněčný organismus
Jednobuněčný organismus
Dělení buněk
Dělení buněk
Lidská páteř
Lidská páteř
Lidský mozek
Lidský mozek
Spirální galaxie
Spirální galaxie

Obrazy z hlubin podvědomí

Při dalším zkoumání narazíte i na tvary, symboly a ornamenty, které lidé různých kultur po celém světě vytvářeli již po staletí.

Uvědomte si, že celý obrazec je stejný a neměnný. To, co vám teď ukazuji jsou jenom různá místa v něm – miniaturní výřezy jednoho celku.

Taj Mahal v Indii - výzdoba stropu
Taj Mahal v Indii - výzdoba stropu
Vzor na perském koberci
Vzor na perském koberci
Čínský ornament
Čínský ornament

České baroko

Při procházkách po naší malebné vlasti jsem si všiml, že tvar Mandelbrotovy množiny až obdivuhodně odpovídá tvaru barokních věží na našich kostelích:

Věž barokního kostela (Vranov, okres Benešov)
Věž barokního kostela (Vranov, okres Benešov)
Detail špičky věže
Detail špičky věže

Poskládán sám ze sebe

Na předchozím obrázku barokní věže si všimněte jednoho detailu. Na špičce "nosu" našeho brouka je  malá kopie celého obrazce. Když se podíváte pozorně na celý ten špičatý nos, zjistíte, že je tam ve skutečnosti malých kopií celého brouka mnoho. A nejen tam. Ty malé kopie jsou úplně všude. Jakkoli hluboko se budete do obrazce nořit, budete stále nacházet malé "bratříčky" původního brouka (mohli jste si toho všimnout i v tom videu na začátku tohoto článku). V každém výřezu na ně dříve nebo později narazíte – těch malých kopií je v každé části obrazce nekonečně mnoho. Celý obrazec je vlastně složen z nekonečně mnoho malých kopií sebe sama – je to totiž fraktál.

Kopie celku na špičce nosu
Kopie celku na špičce nosu
Kopie celku na postranních "tykadlech"
Kopie celku na postranních "tykadlech"

Fraktály jsou všude okolo nás

Fraktály jsou geometrické útvary, které v sobě obsahují samy sebe. Jsou všude okolo nás. Typickým příkladem jsou stromy – když useknete stromu jednu větev, vypadá ta samotná větev jako zmenšený strom. Když z této větve useknete menší větvičku, vypadá zase jako malý stromeček. V abstraktním světě matematiky by se takhle stromy daly osekávat donekonečna, v reálném světě samozřejmě ne. Když se ale začnete dívat okolo sebe, tak zjistíte, že skoro všechno v přírodě má fraktální charakter – tudíž obsahuje to v sobě samo sebe.

Potoky a řeky jsou také fraktály – větví se podobně jako stromy. I mraky na nebi jsou fraktály – když z mraku vezmete libovolnou část, vypadá jako původní mrak. Fraktály jsou i orgány v našem těle – díky tomu mají naše plíce obrovskou plochu při zachování malého objemu. 

Při pohledu do vesmíru budete narážet na fraktály, kam se podíváte. Naší Galaxii a její střed obíhají stovky miliard hvězd, stejně tak jako naše Slunce obíhají planety a miliardy asteroidů. A uvnitř té naší sluneční soustavy jsou velké planety jako Jupiter nebo Saturn, které mají svojí vlastní soustavu měsíců a prstence z nepřeberného množství zrnek a částeček. Zkrátka když se podíváte na celou galaxii, zjistíte, že je složena na mnoha různých úrovních z menších útvarů, které jsou si nejen vzájemně velmi podobné, ale jsou podobné celé galaxii – pouze v menším měřítku.

V matematice existuje samostatná disciplína zvaná fraktální geometrie, která se zkoumáním fraktálů zabývá. Bylo jich popsáno již mnoho druhů, ovšem Mandelbrotova množina je naprosto unikátní. Je to takový fraktál všech fraktálů. Má totiž vlastnost, kterou jiné fraktály nemají. Je to jediný známý fraktál, který je nekonečně komplikovaný – čím hlouběji se budete nořit, tím složitější tvary budete nacházet. 

Spolupráce plodí fraktály

Fraktály vznikají všude tam, kde větší množství autonomních jedinců spolupracuje a vytváří větší celek. Každý mravenec v mraveništi jedná svým způsobem sám za sebe, ovšem celé mraveniště jako organizovaný celek má také podobu fraktálu (mravenčí chodbičky se větví stejně jako stromy). 

I naše města jsou fraktály. Když se podíváte na celé město, zjistíte, že je složeno z menších čtvrtí, které mají v menším měřítku stejnou podobu jako celé město, jehož jsou součástí – mají centrální náměstí, hlavní třídy, z nich vycházejí menší uličky a zákoutí. Celé velké město je poskládáno jakoby z menších měst.

Mezilidské vztahy

Stejný princip funguje i v méně hmatatelných oblastech – třeba v mezilidských vztazích. Když se podíváte na jednotlivé státy na světě a jejich vzájemné vztahy a pak se podíváte na menší jednotky, ze kterých je lidské společenství složeno – třeba na vztahy na pracovišti nebo vztahy dětí ve školní třídě, zjistíte, že mají stejný charakter. Ve třídě na základní škole je taky pár sígrů, kteří si vytvářejí okolo sebe skupinky následovatelů – stejně jako USA a Rusko mají svoje sféry vlivu. Stejně jako ve třídě jsou introverti, kteří nepatří do žádné skupinky, tak i ve světě jsou neutrální státy, které se kamarádí s každým nebo s nikým. Celá ta složitá pavučina mezilidských vztahů je totiž fraktál – obsahuje sama sebe na různých úrovních. Ať si vezmete jakkoli velkou skupinu lidí (rodinu, firmu, město, kraj, stát, světadíl, svět), budete na všech úrovních narážet na stejné vzorce vztahů. Větší celky jsou prostě poskládaný z menších, které jsou v podstatě stejné, jenom zmenšené.

Galerie

Připravil jsem pro vás malou ochutnávku, co všechno se dá v hlubinách mandelbrotovy množiny najít. Kliknutím na obrázek jej zvětšíte na celou obrazovku.

Všechny ty obrázky vznikly pouze výpočtem – je to vlastně jenom "suchá" a nudná matematika a přitom ty tvary v sobě mají tolik krásy! Některé jsou něžně romantické a chtělo by se říct až kýčovitě zdobné a jiné jsou zase geometricky jednoduché, designérsky přísné a třeba i trochu agresivní. Celé to roste, bují a kvete. V každém z těch výřezů je život, cit, něha, ale i vtip a hravost. A kdo je vlastně ten malíř, který takhle krásně maluje? Otázka asi zůstane bez odpovědi...

Vyzkoušejte si to sami

Určitě byste se nechtěli jenom koukat na hotové obrázky, ale rádi byste si ponory do hlubin mandelbrotovy množiny vyzkoušeli sami. Existuje více různých aplikací, které si můžete nainstalovat na váš počítač nebo tablet a začít si sami zkoumat tento vesmír. Až to budete zkoušet, může se stát, že vykreslovaný obrázek bude obsahovat příliš mnoho černých plošek. V takovém případě je nutné zvětšit počet iterací, jinými slovy počet, kolikrát se má výpočet opakovat. Některé aplikace si tuto hodnotu umí samy podle potřeby upravit, u jiných to musíte upravit ručně.

Počítejte také s tím, že jak se budete přibližovat, bude potřeba těch početních operací víc a víc a výpočet se bude postupně zpomalovat. To, jak hluboko se budete moci ponořit, zavisí na rychlosti vašeho počítače a na vaší trpělivosti – některé obrázky, použité v tomto článku, vykresloval můj počítač dlouhé hodiny.

Souměrnost a nesouměrnost

Všimněte si, jak je celý obrazec brouka podél jedné osy souměrný a podél té druhé nikoli. Tento princip dvou navzájem kolmých směrů, kde jeden je souměrný a druhý není, je také všude okolo nás. Podívejte se třeba na vaše tělo. Když ho pomyslně rozříznete podél svislé osy, jsou obě půlky – levá a pravá – na pohled stejné (na venek určitě, u vnitřních orgánů to platí jen u některých). Když byste ale pomyslně svoje tělo rozřízli podle vodorovné osy, nebude horní polovina s hlavou a rukama stejná jako spodní s nohama. Je to další projev vztahu mezi horizontálou a vertikálou. Vpravo a vlevo je zaměnitelné, nahoře a dole už nikoli. A stejný princip platí i u Mandelbrotovy množiny.

Tenká slupka života

Život na Zemi (biosféra) je v porovnání s obrovským rozměrem naší planety jenom takové tenoučké nepatrné orosení na povrchu obrovské koule – tak  jako když se vám v horkém letním dni orosí sklenička se studeným nápojem.  A stejně tak je tomu u našeho brouka – celá ta nekonečně komplikovaná krása je obsažena jen v jeho tenoučkém okraji. A to je jen další z mnoha podobností se světem okolo nás, které v tomto obrazci nacházím.

Lidstvo si muselo počkat

Výpočet potřebný pro vykreslení Mandelbrotovy množiny byl známý již na začátku 20. století – narazil na něj francouzský matematik Pierre Fatou (1878 – 1929), který však měl tu smůlu, že neměl k dispozici počítač, tudíž moc netušil, co vlastně objevil, ale bylo mu jasné, že ta čísla se chovají tak nějak divně. Na jeho práci pak o mnoho desítek let později navázal francouzsko-americký matematik a otec fraktální geometrie  Benoit Mandelbrot (1924 – 2010). Jako první zkusil v roce 1980 vykreslit onen výpočet pomocí počítače a jako první spatřil tu nádheru v plné kráse. Tak jako si lidstvo muselo počkat na vynález dalekohledu, aby se mu otevřela opona do nekonečné krásy vesmírných hlubin, tak si muselo v tomto případě počkat na dostatečně výkonné počítače, aby mohlo nahlédnout do tohoto tajemství vesmíru čísel.

A k čemu je to vlastně dobré?

Narazil jsem častokrát na otázku, k čemu je to vlastně užitečné. Newtonovy zákony pomohly rozvíjet mechaniku. Když Einstein přišel s teorií relativity, měl jeho objev i praktické využití v podobě využití jaderné energie. Díky keplerovým zákonům dokážeme posílat lidi na Měsíc a sondy ke vzdáleným planetám. Ale k čemu je užitečná Mandelbrotova množina? Z ryze praktického hlediska zatím asi k ničemu. Je možné, že někdy v budoucnu může pomoci zodpovědět biologům otázku, jak je možné, že DNA v sobě nese poměrně málo využité informace a přitom dokáže vytvářet tak komplikované celky, jakými jsou těla živých organismů. K tomu, aby se vykreslil dosti komplikovaný tvar z Mandelbrotovy množiny vám stačí znát pouze souřadnice daného místa. Umím si i představit, že to může být nějakým způsobem v budoucnu užitečné třeba i v oblasti šifrování.

I když Mandelbrotova množina jako taková zatím moc praktické využití nemá, tak fraktální geometrie Benoita Mandelbrota se už v praxi hojně využívá. Například jste si mohli všimnout, že před tak deseti a něco lety ze všech mobilů trčela vysouvací anténka. V dnešní době jsou už antény schované uvnitř telefonu a to jen díky tomu, že se přišlo na to, že když budou mít fraktální tvar, můžou být mnohem menší a přitom výkonější. Fraktální geometrie také nachází využití například v matematických modelech počasí a algoritmy objevené panem Mandelbrotem využívají tvůrci speciálních efektů v Hollywoodu pro modelování umělých krajin.

Ale zahoďme na chvíli předsudky, že všechno musí být nějak prakticky využitelné. Řeknu vám, jak mně osobně Mandelbrotova množina pomohla a co mi dala. Její největší kouzlo, dle mého, je v tom, že je nevyvratitelná. Zkrátka a dobře – pokud přijmete fakt, že 1+1=2, tak Mandelbrotova množina prostě existuje. Je tady, vždycky tu byla. Jen se o ní dlouho nevědělo. Je v ní něco nepopsatelně posvátného. Něco, co způsobuje, že snad každý, kdo ji prvně vidí, otevře pusu a řekne, že to je nádhera. Je to spojovací můstek mezi rozumem a duchem, mezi racionálním a iracionálním, mezi logikou a intuicí. Je to něco, co v sobě nese kvality obou těchto často nesmiřitelných světů.

Mandelbrotova množina existuje ve světě čísel. Co jsou vlastně čísla? Kde se tady vzala? Matematika, kterou znáte ze školy, se za dob mého dědečka jmenovala počty. Nechápu, proč tento název nezůstal, protože je mnohem výstižnější. Matematika jako taková je filozofie, je to věda o lidském vědomí, o našem chápání a vnímání světa. Matematika pojednává o principech, které jsou nám vrozené a ani si je neuvědomujeme. Když vám někdo hodí míč a vy jste ho chytli, ani o tom nevíte, ale vaše podvědomí právě spočítalo balistickou dráhu. Když dokážete autem včas zabrzdit před semaforem, tak aniž si to uvědomujete, jste použili diferenciální počet.

Mandelbrotova množina mi také pomohla pochopit výrok " jak nahoře, tak dole ". Když vám někdo bude říkat, že v každém zrnku písku je obsažen celý vesmír, je velmi obtížné si to představit. Jakmile se ale ponoříte hluboko do okraje brouka, tak spatříte tenhle princip v nejnázornější možné podobě. Nemusíte se snažit to chápat, prostě to vidíte. V každé části obrazce je obsažen celek a každá jeho část je nekonečně komplikovaná, unikátní a obsahuje nekonečné množství dalších vesmírů. Věřím, že na tomhle principu funguje celý svět okolo nás.

Pro racionálně a striktně logicky uvažující jedince může být Mandelbrotova množina poněkud znepokojující záhadou, podobně jako třeba kvantový paradox. Výpočet je naprosto logický a racionální, výsledek je však poněkud šokující. Odkud se ty nádherné tvary berou? Jak je možné, že obyčejnými početními operacemi, zredukovatelnými pouze na sčítání, odčítání a násobení (což se dá dále zredukovat pouze na sčítání) je možné dosáhnout něčeho takového? Je to přirozená vlastnost čísel, která byla dlouhou dobu lidem skryta. Čísla hluboce souvisí s naším vnímáním smyslu věcí. Jsou to abstraktní struktury: tři jablka, tři hrušky a tři auta jsou všechno soubory věcí, které mají určitou společnou vlastnost – jejich počet je roven třem. Na číslo tři si ale nikdy nesáhnete. Když vezmete jedno jablko a přidáte k němu druhé, máte dvě jablka. Ve své hlavě si nedokážete představit, že by to mohlo být jinak. A tenhle princip v sobě přitom obsahuje nekonečně komplikovaný svět, do kterého jste právě měli možnost nahlédnout.

Pokud Mandelbrotova množina existuje – a ona nepochybně existuje – ukazuje nám buď nějaký dobře zakamuflovaný přírodní zákon, který musíme teprve pochopit a nebo nám odkrývá nějaký tajemný řád obsažený v našem vědomí a chápání. A dost možná je to oboje zároveň – naší mysl a vesmír okolo nás můžeme vnímat jako dvě různé strany téže mince. Cítíte teď v sobě zmatek? Nedivím se vám...

Líbil se vám článek?





Další blogy

Jak jsem zdobil dort
Jak jsem zdobil dort
Je pátek pozdě večer. Zítra má náš Míša narozeniny. Je bezpodmínečně nutné ještě dokázat vytvořit z cukrářských surovin velký obličej Spidermana na dort. Je to věc největšího významu. Velké drama právě začíná...
Tajemství hudební improvizace
Tajemství hudební improvizace
Naprosto přirozenou a zábavnou cestou se může na hudební nástroj naučit hrát skoro každý bez cizí pomoci. Improvizace se vůbec nemusí složitě učit a trénovat. Jak? Podělím se s vámi o to tajemství.
Jak probíhá výpočet mandelbrotovy množiny
Jak probíhá výpočet Mandelbrotovy množiny
Budete potřebovat čtverečkovaný papír, kružítko, obyčejnou kalkulačku, tužku a gumu. Pokud nemáte čtverečkovaný papír nebo kružítko, stačí vám tiskárna u počítače (přichystal jsem pro vás šablonu v PDF) a pokud nemáte kalkulačku, můžete použít Excel (nemusíte ho vůbec umět, stačí si opět stáhnout šablonu).
Jak jsem se dostal k hudbě
Jak jsem se dostal k hudbě
Přečtěte si příběh o tom, jak jsem dlouhé roky hrál tajně na piano jen sám pro sebe a jak se mi změnil život, když jsem se rozhodl nenechat si to pro sebe a podělit se s lidmi o hudbu, která skrze mě proudí.